Отзывы пользователей

Деление многочлена с остатком.

В отличие от операций сложения и умножения многочленов операция деления многочлена на многочлен выполнима не всегда. Иными словами, если заданы многочлены A(x) и B(x), то не всегда найдется такой многочлен Q(x), что A(x)=Q(x)B(x).

Например, многочлен x3+3 не делится на многочлен x-3. Предположим иное, т.е. существует многочлен Q(x), x3+3=(x-3)Q(x). Тогда при замене x любым числом должно получиться верное равенство. Но при x=3 получаем: 33+3=(3-3)Q(x), т.е. 30=0 - неверное равенство.

Для многочленов определяется операция деления с остатком: пусть A(x) и B(x) - многочлены с действительными коэффициентами, причем B(x) - не нулевой многочлен. Тогда существуют  такие многочлены Q(x) и R(x), что A(x)=B(x)Q(x)+R(x), причем степень многочлена R(x) меньше степени B(x).

При выполнении деления с остатком многочлена на многочлен часто бывает удобно применять метод неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что, когда известен вид искомых многочленов, но неизвестны их коэффициенты, заменяют в исследуемом тождестве эти многочлены их записью с неопределенными коэффициентами, приводят обе части равенства к стандартному виду, после чего приравнивают слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Это дает систему уравнений, позволяющую найти коэффициенты.

Пример. Разделим с остатком многочлен A(x)=3x5+2x4-3x3+6x2-x-1 на многочлен B(x)=x2+x+1.

Решение. Необходимо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что

3x5+2x4-3x3+6x2-x-1= (x2+x+1)Q(x)+R(x). Причем, степень R(x) меньше степени B(x), т.е. не больше 2. Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень Q(x) равна: 5-2=3. Т.е., хотя мы не знаем многочленов Q(x) и R(x), нам известны их степени. Но многочлены  второй степени имеет вид Q(x)=q2x2+q1x+q0 и R(x)=r2x2+r1x+r0.

Подставляя эти выражения вместо Q(x) и R(x), получаем:

3x5+2x4-3x3+6x2-x-1=( x2+x+1)( q3x3+q2x2+q1x+q0)+ (r1x+r0).

Если в правой части этого равенства раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим:

3x5+2x4-3x3+6x2-x-1= q3x5+( q2+ q3)x4+(q3+q2+q1)x3+(q0+q1+q2)x2+(q0+q1+r1)x+(q0+r0).

Это равенство должно выполняться для всех значений переменной. Но если два многочлена тождественно равны, то их коэффициенты при одинаковых степенях совпадают. Получаем систему уравнений: q3=3; q2+ q3=2; q3+q2+q1=3; q0+q1+q2=6; q0+q1+r1=-1; q0+r0=-1. Решая эту систему, получаем коэффициенты: q3=3; q2=-1; q1=-5; q0=12; r1=-8; r0=-13.

 

Вместо выписывания системы уравнений применяют запись деления «уголком», аналогичную записи при делении чисел. Тот же пример решается следующим образом:

 

3x5

+2x4

-3x3

+6x2

-x

-1

x2

+x

+1

 

 

3x5

+3x4

+3x3

 

 

 

3x3

0

-5x

12

 

 

0

-6x3

+6x2

-x

-1

 

 

 

 

 

 

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5x3

+7x2

-x

-1

 

 

 

 

 

 

 

-5x3

-5x2

-5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12x2

+4x

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

12x2

+12x

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-8x

-13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Поделиться: