Отзывы пользователей

гдз

Олимпиадная задача по математике из коллекции задач Московской Математической Олимпиады на темы: Турниры и турнирные таблицы, Принцип крайнего (прочее).

Условие

В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение — 0. Затем был определен коэффициент каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое

Решение

  Допустим, не все набрали одинаковое число очков. Пусть занявшие первое место ("первые") набрали K очков, а занявшие последнее место ("последние") — L очков. (Места определяются по очкам, а не по коэффициентам.)

Коэффициент "первых" — это сумма K чисел, каждое из которых не меньше L. Значит, этот коэффициент не меньше K . L. Аналогично, коэффициент "последних" — это сумма L чисел, каждое из которых не больше K. Поэтому коэффициент "последних" не превосходит K . L.

Если коэффициенты "первых" и "последних" равны, то они равняются K . L. В этом случае каждый "первый" выиграл K встреч у набравших L очков, т. е. у "последних", а каждый "последний" выиграл L встреч у набравших K очков. Если число "первых" больше одного, то один из них выиграл у другого, что противоречит предыдущему. Значит, на первом месте один спортсмен. Аналогично, на последнем месте только один спортсмен.

По условию, в турнире есть третий участник. Из доказанного следует, что он не проигрывал ни первому, ни последнему, т. е. выиграл и у первого, и у последнего.

Но тогда он набрал больше очков, чем первый, поскольку первый выиграл только у последнего. Полученное противоречие доказывает, что исходное предположение неверно. Следовательно, все участники набрали одинаковое число очков.

 
Поделиться: