Отзывы пользователей

Олимпиадная задача по математике из коллекции задач Московской Математической Олимпиады на темы: НОД и НОК, Взаимная простота, Задачи на проценты и отношения.

Условие

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на n процентов, где n - фиксированное целое положительное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?

Решение

Первый способ. Заметим, что при повышении курса акций он умножается на  1 + , а при понижении -- на  1 - . Следовательно, после k повышений и l понижений курс акций умножится на

1 + 1 - .

Докажем, что это число не может быть равно единице. Для этого запишем дробь в виде несократимой дроби  , где b > 1. Тогда 1 + = и  1 - = , и запишется так:

.

Так как дробь несократима, числа b + a и b взаимно просты, числа b - a и b тоже взаимно просты. Следовательно, дробь (*) также несократима, а значит, не равна единице, что и требовалось доказать.

Комментарии. 1o. Приведем более подробное доказательство несократимости дроби. От противного, пусть дробь сократима, тогда найдется простое число p, которое делит и числитель, и знаменатель. Так как p простое и p делит знаменатель, то p делит b. Так как p делит числитель, то p делит (b + a)k или (b - a)l. Значит, p делит b + a или b - a. В любом случае p делит a (так как оно делит b). Но это противоречит взаимной простоте a и b.

2o. Из решения следует, что после каждого изменения курса акций возрастает количество знаков после запятой в числе, выражающем отношение текущего курса к начальному (подумайте, почему).

Второй способ. Условие, что выражение равно единице, можно записать так:

(100 + n)k(100 - n)l = 100k + l.

Так как правая часть четна, то и левая часть должна быть четна, значит, n четно. Аналогично, левая часть делится на 5, значит, n делится на 5. Значит, n делится на 10. Можно перебрать все 9 возможных вариантов: n = 10, 20, ..., 90. Например, если n = 10, то левая часть делится на 11, что невозможно.

Можно обойтись без перебора: пусть n не делится на 25. Тогда числа 100 - n и 100 + n тоже не делятся на 25. Значит, пятерка входит в разложение левой части на простые множители ровно k + l раз. Но она входит в разложение правой части 2(k + l ) раз -- противоречие. Итак, n делится на 25. Аналогично доказывается, что n делится на 4. Но тогда n делится на 100, что невозможно, ибо 0 < n < 100.

 
Поделиться: