Отзывы пользователей

гдз

Олимпиадная задача по математике из коллекции задач Московской Математической Олимпиады на темы: Числовые таблицы и их свойства, Перебор случаев.

Условие

В клетках таблицы 3x3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?

Решение

Приведём сначала пример таблицы, в которой ровно семь ненулевых чисел:

0 1 -1
-1 2 1
1 -1 0

Докажем, что меньшим количеством ненулевых чисел обойтись нельзя.

Если в таблице ровно одно ненулевое число, то сумма чисел в строке, содержащей это число, отлична от нуля.

Допустим, в таблице ровно три ненулевых числа. Если все они стоят в одной строке, то сумма чисел в любом столбце отлична от нуля. Если не все они стоят в одной строке, то в какой-нибудь строке стоит ровно одно ненулевое число, и сумма чисел в этой строке не равна нулю.

Допустим, в таблице ровно пять ненулевых чисел. Тогда в таблице стоит 4 нуля, значит какие-то два нуля стоят в одной строке. Поскольку сумма чисел в этой строке равна нулю, все числа в этой строке --нули. Осталось заметить, что в столбце, в котором стоит оставшийся ноль, ровно два нуля, что невозможно.

Ответ

7 чисел.

 
Поделиться: