Отзывы пользователей

Все высоты пирамиды ABCD, грани которой являются остроугольными треугольниками, равны между собой. Известно, что AB = 9, BC = 13, а угол ADC равен 60o. Найдите длину ребра BD

Все высоты пирамиды ABCD, грани которой являются остроугольными треугольниками, равны между собой. Известно, что AB = 9, BC = 13, а угол ADC равен 60o. Найдите длину ребра BD.




Подсказка


Достройте данный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные ребра пары параллельных плоскостей. Докажите, что если все грани тетраэдра равновелики, то они равны.




Решение


Поскольку объем пирамиды равен третьей части произведения основания на высоту, а все высота пирмиды равны, то все грани пирамиды равновелики. Докажем, что противоположные ребра такой пирамиды попарно равны.

Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC(AN || KD || BM || LC), проведя через его противоположные ребра пары параллельных плоскостей. Из середины G ребра AB опустим перпендикуляр GH на ребро CD. Рассмотрим ортогональную проекцию PA1B1 тетраэдра ABCD на плоскость, перпендикулярную CD, где P - проекции точек C, D и H, A1 - проекция вершины A, B1 - проекция вершины B.

Из равенства площадей треугольников ADC и BDC, следует равенство их высот, проведенных к общей стороне CD, а значит, и равенство ортогональных проекций A1P и B1P этих высот на плоскость, перпендикулярную CD. Поскольку проекция G1 середины отрезка AB является серединой A1B1, медиана PG1 равнобедренного треугольника A1B1P перпендикулярна основанию A1B1. Тогда по теореме о трех перпендикулярах GH $ \perp$ AB. Значит, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB и CD проходит через середину AB. Аналогично докажем, что общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB и CD проходит через середину CD.

Таким образом, отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра ABCD, перпендикулярны этим ребрам, а значит, и граням параллелепипеда AKBLNDMC. Поэтому, параллелепипед AKBLNDMC прямоугольный. Следовательно, противоположные ребра тетраэдра ABCD попарно равны как диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда.

Таким образом,

AD = BC = 13, CD = AB = 9.

Следовательно,

BD = AC = $\displaystyle \sqrt{AD^{2} + BC^{2} - 2\cdot AD\cdot BC\cdot \cos \angle ADC}$ =

= $\displaystyle \sqrt{169 + 81 - 13\cdot 9}$ = $\displaystyle \sqrt{133}$.




Ответ

.
 
Поделиться:

Комментарии 

 
Миша, 24 Ноября 2012 г. в 19:29 | цитировать
у мя ответ не высвечивается... че за ботва???