Отзывы пользователей

гдз

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, деленной на его полупериметр

Сфера радиуса $ \sqrt{5}$ с центром в точке O касается всех сторон треугольника ABC. Точка касания N делит сторону AB пополам. Точка касания M делит сторону AC так, что AM = $ {\frac{1}{2}}$MC. Найдите объем пирамиды OABC, если известно, что AN = NB = 1.




Подсказка


Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, деленной на его полупериметр.




Решение


Пусть данная сфера касается стороны BC треугольника ABC в точке K. Тогда

BK = BN = 1, AM = AN = 1, CM = 2 . AM = 2, CK = CM = 2.

Сечение сферы плоскостью треугольника ABC есть окружность, впмсанная в треугольник ABC, причем центр O1 этой окружности - ортогональная проекция центра O сферы на плоскость треугольника ABC. Значит, OO1 - высота пирамиды OABC.

Пусть r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, p - ролупериметр треугольника, s - площадь. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, отрезкок CN - его высота. Тогда

CN = $\displaystyle \sqrt{AC^{2} - AN^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9 - 1}$ = 2$\displaystyle \sqrt{2}$,

s = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB . CN = 2$\displaystyle \sqrt{2}$,        r = s/p = 2$\displaystyle \sqrt{2}$/4 = $\displaystyle \sqrt{2}$/2.

Из прямоугольного треугольника OO1N находим, что

OO1 = $\displaystyle \sqrt{ON^{2} - O N^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{5 - 1/2}$ = 3/$\displaystyle \sqrt{2}$.

Следовательно,

V(OABC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$s . OO1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$2$\displaystyle \sqrt{2}$ . 3/$\displaystyle \sqrt{2}$ = 2.




Ответ 2.

 
Поделиться: