Отзывы пользователей

гдз

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC, O - произвольная точка пространства

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC, O - произвольная точка пространства. Докажите, что
OM2 = (OA2 + OB2 + OC2) - (AB2 + BC2 + AC2).




Подсказка


Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда

= ($\displaystyle \overline{OA}$ + + $\displaystyle \overline{OC}$).




Решение


Если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то

= ($\displaystyle \overline{OA}$ + + $\displaystyle \overline{OC}$),

поэтому

= ($\displaystyle \overline{OA}$ + + $\displaystyle \overline{OC}$)2 =

= (OA2 + OB2 + OC2 + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + 2 . . $\displaystyle \overline{OC}$).

Из равенства = - следует, что AB2 = OB2 - 2 . . + OA2, откуда находим, что

2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . = OB2 + OA2 - AB2.

Аналогично находим, что

$\displaystyle \overline{BC}$ = $\displaystyle \overline{OC}$ - , BC2 = OC2 - 2 . . $\displaystyle \overline{OC}$ + OB2,

$\displaystyle \overline{AC}$ = $\displaystyle \overline{OA}$ - $\displaystyle \overline{OC}$, AC2 = OA2 - 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + OC2,

откуда

2 . . $\displaystyle \overline{OC}$ = OC2 + OB2 - BC2, 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ = OA2 + OC2 - AC2.

Следовательно,

= (OA2 + OB2 + OC2 + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . + 2 . $\displaystyle \overline{OA}$ . $\displaystyle \overline{OC}$ + 2 . . $\displaystyle \overline{OC}$) =

= (OA2 + OB2 + OC2 + OB2 + OA2 - AB2 + OC2 + OB2 - BC2 + OA2 + OC2 - AC2) =

= (3 . OA2 + 3 . OB2 + 3 . OC2 - AB2 - BC2 - AC2) =

= (OA2 + OB2 + OC2) - (AB2 + BC2 + AC2).
 
Поделиться: