Отзывы пользователей

гдз

Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, не являющегося ромбом, при пересечении..

Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, не являющегося ромбом, при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма.

Решение


Пусть биссектрисы углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, биссектрисы углов при вершинах C и D — в точке N, углов при вершинах A и D — в точке K, углов при вершинах A и B — в точке L.

Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то MLKN — прямоугольник.

Предположим, что AB > CD.

Если луч BM пересекает прямую CD в точке T, то

BTC = TBA = CBT.

Значит, треугольник BCT — равнобедренный. Поэтому

CT = BC < AB = CD.

Следовательно, точка T лежит на стороне CD и

DT = CD - CT = AB - BC.


Поскольку CM — высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, то M — середина BT. Аналогично докажем, что если S — точка пересечения луча DK со стороной AB, то K — середина DS. Точки M и K — середины противоположных сторон параллелограмма BTDS. Следовательно,

MK = DT = AB - BC

Поскольку диагонали прямоугольника равны, то LN = MK = AB - BC.

 
Поделиться: